Saturday, March 31, 2018

බහුවල බුහුවලු


බහුවලය (hyperbola) යනු මට පාසල් කාලයේදීත් කිසිදා නොතේරුණු ගණිත සංකල්පයකි. ඇත්තටම මට ජ්‍යාමිතිය යනු එපාකරපුම විෂය විය. සාමාන්‍ය පෙළින් පසුව කලා විෂයන් හදාරන්නට දැඩි ඇල්මක් හා දක්ෂතාවක් තිබුණත්, එතෙක් කිසිදා කිසිදු ටියුෂන් පංතියකට ගොස් නොතිබූ මා, මිතුරෙකුගේ ඇවිටිලි මත ඔහුගේ තනියට පළමු වරට උසස් පෙළ භෞතික විද්‍යා ටියුෂන් පංතියක ආරම්භක දින දේශනයකට (නොමිලේ) ගොඩවීම මාගේ ජීවිතයට වෙනස් කරන සිද්ධියක් විය. එකෙනෙහිම මා ගණිත විෂයන් උසස් පෙළට හදාරන්නට තීරණය කළෙමි. මා ගණිතයට අකමැති වුවත් ගණිතය තෝරා ගත්තේ ඇයිදැයි මා නොදනී.
 

උසස් පෙල විෂය නිර්දේශයේ පරාවලය ගැන තිබුණාදවත් මට මතකයක් නැත්තේ මා මුලුමනින්ම ජ්‍යාමිතිය අත්හැර දමා තිබූ නිසාය. කෙසේ වෙතත්, පසුකාලීනව ගණිතය ජීවිතයට ආශිර්වාදයක්ම විය (නමුත් ජ්‍යාමිතිය තවමත් යටිසිතේ හොල්මන් කරයි). මාගේ අධ්‍යනවලට ජ්‍යාමිතිය අවශ්‍ය නොවූ නිසා, ඒ ගැන ගැඹුරු දැනුමක් අදටත් මට නැත.
 
ඊයේ පෙරේදා දිනක බහුවල හා පරාවල ගැන යමක් කියා දීමට සිදු වීම නිසා, මට අජීරණය වූ විෂය පථයක් ගැන නැවත සිතන්නට විය. එහිදී බහුවලය හා ඒ ආශ්‍රිතව ලබා ගත් යම් යම් නිරීක්ෂන කිහිපයක් සටහන් කරන්නටයි මා දැන් හදන්නේ (විශේෂයෙන්, ජ්‍යාමිතිය අප්‍රිය වූ මා වැනි තවත් අය වෙනුවෙන්).
 
පරාවලය (parabola) හා බහුවලය යනු ජ්‍යාමිතික රූප දෙකකි. පරාවලය නම් අපට හුරුයි මොකද සාමාන්‍ය පෙල ගණිතයේදිත් මේ ගැන ඉගැන්වෙනවා. y = ax2 වැනි වර්ග පදයක් සහිත ප්‍රකාශයක්/ශ්‍රිතයක් ප්‍රස්තාර ගත කරන විට ලැබෙන්නේ පරාවලයකි. 
 
  

එහි වර්ගපදය නිසා අපූරු දෙයක් වෙනවා. එනම්, ස්වායත්ත විචල්‍ය පදය (x) ඍන වුවත්, ධන වුවත් පරායත්ත විචල්‍යය හැමවිටම ධන වෙනවා. එහෙත් අවශ්‍ය නම්, ඉහත ශ්‍රිතය y = ax2 + c ආදි ලෙස අමතර නියත පදයක්ද යොදා y අගය (ඉන් කොටසක් හෝ) ඍන වන පරිදිද ප්‍රස්ථාරය සාදා ගත හැකි වෙනවා.

  
ඊටත් අමතරව, a නම් සංගුනක පදය ඍන අගයක් වන විටත්, y අගය ඍන වන පරිදි සකස් කර ගත හැකියි.



හැඩය හැමවිටම ඒකාකාර වේ (උඩ අතට හෝ යට අතට පවතින කෝප්ප හැඩය). තව දුරටත් එම හැඩය ගැන සිතුවොත්, x අගය විශාල වන විට, y අගයත් විශාල වෙනවා (එනම් කෝප්පයේ කට තව තවත් පුලුල් වෙනවා). ඒ කියන්නේ x අගය පරාසයත් y අගය පරාසයත් යන දෙකම අනන්තය කරා යා හැකියි.
 
y=ax2 + c වැනි පරාවලයක් මවන ශ්‍රිතයක තවත් ලක්ෂණයක් තිබෙනවා. එනම්, සෑම ස්වායත්ත විචල්‍යයකටම පවතින්නේ තනි පරායත්ත විචල්‍ය අගයක් පමණි. ඒ කියන්නේ ඔබ යම් අගයක් x සඳහා ලබා දුන් විට, එම ශ්‍රිතය ගණනය කළ විට හැමවිටම ලැබෙන්නේ තනි y අගයක් පමණි. මෙවැනි ශ්‍රිත ඉංග්‍රිසියෙන් single-valued function ලෙස හැඳින්වේ (සිංහල වදන දන්නේ නැත).
 
එහෙත් දැන් y=ax2 යන ශ්‍රිතයම ගෙන, එහි x උක්ත කරන්න. එවිටත් අපට ලැබෙන්නේ ශ්‍රිතයකි (දැන් y යනු ස්වායත්ත විචල්‍යය වන අතර x යනු පරායත්ත විචල්‍යය වේ). මෙවිට x = (y/a) වේ. මෙම ශ්‍රිතය ප්‍රස්ථාර ගත කර බලන්න.
  
 

මෙම හැඩය ලැබෙන විදිය ගැන තර්ක කර බලන්න. වැඩේ පහසු වීම සඳහා a = 1 යැයි ගමු. එවිට, ඔබ y සඳහා යම් ධන අගයක් ලබා දෙන්න. උදාහරණයක් ලෙස y=4 ලෙස ගමු. එවිට එහි වර්ගමූලය ධන 2 හෝ ඍන 2 වේ (±2). ඒ කියන්නේ ස්වායත්ත විචල්‍යයට දැන් එක් අගයක් දුන් විට, පරායත්ත විචල්‍යය සඳහා අගයන් 2ක්ම ලැබෙනවා. ඒ කියන්නේ මෙම ශ්‍රිතය මීට පෙර හමු වූ single-valued function එකක් නොව multi-valued function එකකි.
 
ඒ විතරක්ද නොවේ, හැමවිටම පරායත්ත විචල්‍ය ලෙස ලැබෙන අගය පරිමානයෙන් සමාන හා ලකුණෙන් පමණක් විරුද්ධ අගයන් වේ. එනිසා ඒ ලැබෙන ප්‍රස්ථාරයත් සමමිතික වේ (කෝප්ප හැඩයක් මෙහිත් ඇත; නමුත් කෝප්පය දැන් පිහිටන්නේ ඉහත රූපයේ විදියට හරහාටයි). 
 
තවද, ඍන අගයක වර්ගමූලයක් ගත නොහැකි නිසා, එම ශ්‍රිතයේ ස්වායත්ත විචල්‍යයට ඍන අගයන් ලබා දිය නොහැකිය. ඒ කියන්නේ x අක්ෂයේ වම්/ඍන පැත්තට ප්‍රස්ථායක් ඇඳිය නොහැකිය.
 
මා පරාවලය ගැන මෙතරම් කතා කළේ බහුවලයත් ඒ ආශ්‍රයෙන්ම පැහැදිලි කර ගත හැකි නිසාය. මා කියවා තිබෙන (ඉතා සුලු) ජ්‍යාමිතික පාඩම්/පොත් හැම එකකම වාගේ එය අර්ථ දක්වා හා පැහැදිලි කර තිබුණේ දළ වශයෙන් එකම ආකාරයකට වන අතර, එය අමුතුම තාලයේ එකක් ලෙස ව්‍යංගයෙන් මොලයට දැනේ. එහෙත් බහුවලය එසේ දැනෙන්නේ නැතිව සරලවද වටහ ගත හැකිය. ඊට හේතුව ඉහත පරාවලය ගැන සිතූ ලෙසටම බහුවලය ගැනත් තේරුම් ගත හැකිය. 
 
පරාවලයට සමීකරණයක් තිබුණු අතර, ඒ ඇසුරින් ප්‍රස්ථාර ලබා ගෙන පහසුවෙන් එම පරාවල හැඩය ලැබෙන හැටි තේරුම් ගත හැකියිනෙ. ඒ ලෙසටම, බහුවලයටත් සරල සමීකරණයක් ඇත.
  


එම සමීකරණය ඒ ස්වරූපයෙන් බලන විට (මට නම්) එතරම් හැඟීමක් ඇති නොවේ. එනිසා, මා එය y උක්ත කර (එවිට y සුපුරුදු ලෙසම පරායත්ත විචල්‍යය බවට පත් වේ), x වල සමීකරණයක් ලෙස පහත ආකාරයට සකසා ගත හැකියි. පැහැදිලි කිරීම පහසු කර ගැනීමට a හා b නියත පද දෙකම 1ට සමාන කරමු.


y = (x2 +1)
 
දැන් මෙම සමීකරණය පරාවල සමීකරණය සඳහා සිදු කළ තර්ක කිරීමම යොදා ඉන් ලැබෙන ප්‍රස්ථාරය ගැන හිඟියක් ලබා ගත හැකිය. මෙහි පළමු හිඟිය වන්නේ සම්පූර්ණ වර්ගමූලයක් තිබෙන නිසා, මෙම ප්‍රස්ථාරයෙත් මීට පෙර දුටු වර්ගමූ ප්‍රස්ථාරයේ මෙන්ම කෝප්ප හැඩයක් හරහාට ලැබිය යුතුය.
 
එහි තවත් වැදගත් හිඟියක් තිබෙනවා එම වර්ගමූලය ඇතුලේ තිබෙන ස්වායත්ත විචල්‍යය මඟින්. එය පවතින්නේ වර්ගපදයක් ලෙසයි. ඔබ දන්නවා ධන වේවා ඍන වේවා ඕනෑම අගයක් වර්ග කරන විට පිලිතුර හැමවිටම ධන වේ. ඒ කියන්නේ මීට පෙර ඔබ දුටු (පරාවල ගැන කතා කරන විට) වර්ගමූල ශ්‍රිතයේ තිබූ සීමාවක් ඉවත් වේ. එනම්, දැන් x සඳහා ඍන අගයන්ද ආදේශ කළ හැකියි. ධන අගයක් වුවත්, ඍන අගයක් වුවත් වර්ග කළාට පසුව එය ධන අගයක් වන අතර, එම ධන අගයට 1 එකතු වූ විට නැවත ලැබෙන්නේ ධන අගයක්නෙ. ඉතිං ධන අගයක් වර්ගමූල කළ හැකියි. ඒ අනුව, තවත් කෝප්ප හැඩයක් ප්‍රස්ථාරයේ ස්වායත්ත විචල්‍යය අක්ෂයේ වම් (ඍන) පැත්තේත් දැන් තිබෙනවා.
 
ධන වුවත්, ඍන වුවත් ස්වායත්ත විචල්‍ය අගය වැඩි වන පැත්තට තමයි හැමවිටම කෝප්පයේ කට හැරිල තිබෙන්නේ. එනිසා එම කෝප්ප දෙක එකිනෙකට විරුද්ධව පහත රූපයේ ආකාරයට පවතිනවා.
   



ඉතිං, මෙලෙස හරහාට කෝප්ප දෙකක් ලැබුණහම එම සමස්ථ හැඩයට අප බහුවලය යැයි කියනවා. ඇත්තටම එම හැඩයේ ඒ හැරෙන්න වෙනත් කිසිම විශේෂත්වයක් (මට) නැත. එය අප සාමාන්‍යයෙන් දන්නා සරල තර්කනය යොදා ගෙනම සිතා ගත හැකිය.
 
අවශ්‍ය කෙනෙකුට බහුවලය ආශ්‍රයෙන් තවත් ගණිත සංකල්ප හා සූත්‍ර නිර්මාණය කර ගත හැකිය. ඉහත රූපයේ බහුවලයක සමහරක් ප්‍රධාන අංගද නම් කර තිබෙනවා. එසේ වුවත්, බහුවලය නම් අර විදියට තර්ක කර ලබා ගත් අහිංසක සරල හැඩයම වේ.

No comments:

Post a Comment