Saturday, October 21, 2017

දෛශික ගැන පොත ඩවුන්ලෝඩ් කර ගැනීමට

කොටස් වශයෙන් පළ කළ දෛශික පාඩම් මාලාවේ තනි pdf ෆයිල් එක පහතින් ඩවුන්ලෝඩ් කර ගත හැකිය.

දෛශික ඊපොත ඩවුන්ලෝඩ් කිරීමට
0 Read More »

Monday, October 9, 2017

How hex numbers pronounced (දහසයේ පාදයේ සංඛ්‍යා උච්ඡාරණය)

5
When working in such fields as mathematics, computing, electronics, we often find the use of hexadecimal (hex) numbers like 6A, 80D, FF. I assume those who are reading this post are knowledgeable with hex numbers; or at least are aware of it. So, I am not going to dwell on its nitty-gritty here.

Anyway, since I was exposed to hex numbers in school, and then was working with them whilst learning computing, and elctronics, I had not known how to sound or rather pronounce a hex number as we do for normal decimal numbers (eg: decimal number "58" is pronounced as "fifty eight"). We just used to pronounce them ditit by digit (eg: "45A" as "four five ai"). It's obvious sounding a number by its individual digits is very much cumbersome and very hard to remember even.

However, I find that even hex numbers could be pronounced in the same style without any difficulty. There are 3 parts you must keep in mind (this is just my idea, and really don't know whether anyone has suggested this or any other method instead before).

1. Any single-digit hex number can be pronounced like:

0 - zero
1 - one
2 - two
3 - three
4 - four
5 - five
6 - six
7 - seven
8 - eight
9 - nine
A - ai
B - bee
C - see
D - dee
E - ee
F - ef

2. Any number between hex 10 to 1F can be pronounced as follows.

10 - ten
11 - eleven
12 - twelve
13 - thirteen
14 - fourteen
15 - fifteen
16 - sixteen
17 - seventeen
18 - eighteen
19 - nineteen

1A - hexteen (aiteen is discarded to prevent it being misunderstood as eighteen)
1B - beeteen
1C - seeteen
1D - deeteen
1E - eeteen
1F - efteen 

3. Just as every normal decimal digit has a prefix form for numbers in the range 20 and 100, each hex digit also should be given its own prefix form as shown below.

2X - twenty X
3X - thirty X
4X - forty X
5X - fifty X
6X - sixty X
7X - seventy X
8X - eighty X
9X - ninety X
AX - hexty X
BX - beety X
CX - seety X
DX - deety X
EX - eety X
FX - efty X

Using the above rules, now you can easily pronounce any hex number. Following are some examples.

1 - one
B - bee
19 - nineteen
1C - seeteen
25 - twenty five
2A - twenty ai (twenty A)
3B - thirty bee (thirty B)

9C - ninety see (ninety C)
D8 - deety eight
AF - hexty ef
100 - one hundred
130 - one hundred and thirty
15D - one hundred and fifty dee (one hundred and fifty D)
B2E - bee hundred and twenty ee
275E - two thousand seven hundred and fifty ee (two thousand seven hundred and fifty E)
7A62F - seventy ai thousand six hundred and twenty ef (seventy four thousand six hundred and twenty f)
C00,000 - see hundred thousand
B,000,000 - bee million
F,000,000,000 - ef billion
D,000,000,000,000 - dee trillion
A,000,000,000,000,000 - ai quadrillion
C,000,000,000,000,000,000 - see quintillion
E,000,000,000,000,000,000,000 - ee hexillion
etc...



Read More »

Sunday, October 1, 2017

රට අවුලඤ්ඤං නිකාය

3
මේ දවස්වල පුවත් බලන විට රට හැම පැත්තෙන්ම අවුලුවන්නට උත්සහ කරන පාපතරයන් ඕනෑ තරම් දකින්නට ලැබේ. ඉන් බොහොමයක් රටේ අභාග්‍යයකට මෙන් චීවරධාරින්ය. මෙවුන්ව බුද්ධ පුත්‍රයන් සේ කිසිසේත් නොසැලිකිය යුතුය. මුං අමු ත්‍රස්ථවාදින්ය; රස්තියාදුකාරයන්ය. හරිනම් සර්වනිකායන් විසින් මෙවුන්ව උපැවදි කරවා සසුන අවිහිංසාවාදී ථේරවාද සම්ප්‍රදායානුකූලව නියම බුදු වදන ආරක්ෂා කර ගැනීමට කටයුතු කළ යුතුය. මැදපෙරදිග සමහර රටවල ඉස්ලාමීය කාලකන්නි ආගමික නායකයන් සේ ත්‍රස්තවාදි විලාසයක් දැන් මෑතක සිට චීවරධාරින්ගෙන්ද පෙනේ.

සිල් රෙදි හොරුන් වෙනුවෙන් මුදල් එකතු කිරීමට මහින්දගේ අංක එකේ හෙන්චයියකු වූ අභයතිස්සගේ ප්‍රොජෙක්ට් එක දැන් නිල වශයෙන් නතර කර ඇත. සතියකින් අතරමඟ නතර කිරීමට නම්, එම ව්‍යාපාරය ආරම්භ කළේ ඇඟ කසනවාටදැයි ඇසිය යුතුය. කිසිදු දුරදිග සිතාබැලීමක් හා වාස්තවික පරිසරය ගැන කිසිදු හැඟීමක් නැතිව හුදු දේශපාලන සටන්පාඨ සඳහා පමණක් ක්‍රියාත්මක වන බව මින් ඉතා පැහැදිලි වේ. ගෙදර හාමු උසි කියූ විට මෙලෝ හසරක් දන්නේ නැතිව බුරන නකුටු බල්ලන් සේ මෙවුන් හැසිරේ. චීවරය හෑල්ලු වීම ඉන් සිදු වේ.

මීට පෙර මහින්ද රාජපක්කගේ ආරක්ෂාවට යෙදවූ හමුදා සෙබලුන් ඉවත් කළ විට, එම ආරක්ෂාව සඳහා අභයාරාමයේ මුරුත්තෙට්ටුව හා එම ත්‍රාඩ කල්ලිය විසින් බ්‍රිගේඩයක් යොදවන බව කටමැත දෙඩෙව්වේය.  එම ආරක්ෂක බල ඇනිය අප තවමත් දුටුවේ නැත. බත් පැකට් එකට හා අරක්කු කාලට රැලියකට සහභාගි වූ ගොන් රැල එවැනි දේකට වගකීමක් හා කැපවීමක් ඇතිව යොදා ගත නොහැකි බව සමහරවිට දැන් අවබෝධ වී ඇති.

දකුණේ සිට කැලනියට සංඥ ආඥාවක් මේ දවස්වල රැගෙන යනවා යැයි කියැවේ. පලමුව එම හැදින්වීම සාවධ්‍ය වේ. කහපාට රෙද්දක් පොරව ගත් ඕනෑම කාලකන්නියෙකුට එවැනි ආඥා පැනවිය නොහැකිය. ශීල ගුණයෙන්, තපෝ ගුණයෙන් ආදියෙන් වෘද්ධි වූ සංඝයා වහන්සේලාට එය කළ හැකි වීමට පුලුවන. එහි ඇත්තේ අාධ්‍යාත්මික ගුණයකි. පොලිසිය, උසාවිය, හෝ යම් බලාධිකාරයකින් නිකුත් කරන ආඥාවකින් එය වෙනස්ය. ඉතිං මුලු රටම දන්නා කිසිදු ආධ්‍යාත්මික වර්ධනයක් නොමැති තක්කඩි චීවරධාරින් පිරිසකට දෙවියකුට තියා බල්ලකු කපුටකු තරම්වත් අල්ප ප්‍රාණියකුටවත් ආඥාවක් නිකුත් කළ හැකිද? මෙවුන් කෝට්ටේ යුගයේ සිට සිරි රහල් හිමි භූමිකාව රඟන්නට ගොස් සුපුරුදු ලෙසම පහුගිය අවුරුදු දෙක තුනේම සිදු වූ ලෙසට නැවත බලු වී නවතිනු ඒකාන්තය.

මා විමතියට පත් වූ කාරණා කිහිපයක් තිබේ. නලින් ද සිල්වා, වෛද්‍ය සංගමයේ සභාපති ආදියගේ ඉෂ්ඨ දේවතා ශ්‍රී නාථ දෙවියන්ව කොන් කිරීමයි. උපුල්වන්, විභීෂන හා නාථ දෙවියන්ව කොටවන්නටද මුං මේ සැරසෙන්නේ. ඒ හැරත්, විභීෂන යනු තම සොයුරු රාවනාව පාවා දී, රාවනාව මැරීමට රාමට උදව් කර රාම සරණ ගිය ජාතිද්‍රෝහියෙකි. දැන් රාවනා බලය සංවිධාන මෙම ආඥාව එවන් ජාතිද්‍රෝහි විභීෂනට භාර දෙන්න උදව් කරන්නේ අඩුම ගානේ තම සංවිධානයේ නමටවත් ගරු නොකරමින්ය. මුංට කන්න ඕන වුණාම කබරගොයිත් තලගොයි වන බවත් ප්‍රතිපත්ති ගරුක බවක් නොමැති බව පෙනේ.

ඊටත් වඩා දෙපැත්තෙන්ම හිනා යන සිදුවීමක් ඊයේ සිදු වූයේ එක්සත් ජාතින්ගේ සංවිධාන පරිශ්‍රය තුලය. එනම්, බෙංගමුවේ නාලක විසින් එක්සත් ජාතින්ට සංදේශයක් භාර දී මැතිවරණ වහම පවත්වන්නට යැයි ලංකා රජයට "නියෝගයක්" පනවන්නට කියා සිටී. උදේ නැගිට්ට වෙලේ සිට නින්දට යන තෙක්ම ලංකාවේ වැඩවලට පිටරැටියන් හොට දානවා යැයි පරසක්වල ගසමින් විලාප දෙමින් සොටු පෙරාගෙන කෑ ගසන එවුන්ම දැන් පිටරැටියන් ඉදිරියේ හිඟා කමින් සිටිනවා ලංකාවේ කටයුතුවලට ඇඟිලි ගසන්න යැයි කියා. තවද, කිසිදු සැකයක් නැහැ මෙවුන් ලංකාවට ආ ගමන් නැවත කියනු ඇත්තේ ලංකාවේ වැඩවලට ඇඟිලි නොගසනු කියාය. රෑ ඩැනියල් දවල් මිගෙල් චිත්‍රපටියෙන් ආදර්ශ ගෙන ඇති බව පැහැදිලිය. මෙවුන් දැන් වියරුවෙන් මානසික ලෙඩුන් වී අවසන්ය තමන් කරන්නේ කියන්නේ මොනාද කියා නොදැනෙන තරමටම. බෙංගමුවේ නාලකගේ එම ක්‍රියාකලාපය ඇල්ලේ ගුනවංශ, රාවනාගේ සද්ධාතිස්ස, බලු සේනාව, නලින් ද සිල්වා ආදී ඊනියා ජාතිමාමකයන් විසින් විවේචනය කරන තෙක් අපි බලා සිටිමු.

ඇත්තටම නිකාය නායක පර්ෂදවලට අත්‍යන්ත වගකීමක් පැහැදිලිව තිබේ. එනම්, තම තම නිකායන්වල සිටින මෙම මදාවි වනචර දුශ්ශීල මුඩ්ඩපබ්බජිතයන් පලවා හැරීම සිදු කළ යුතුය. නීතියෙනුත්, සදාචාර වශයෙනුත්, ආගමානුකූලවත් සිදු විය හා සිදු කළ යුතු දේ එයයි. එහෙත් එම වගකීම පැහැර හරිමින් එම පර්ෂදයන් විසින් ගිහියන්ගේ ලෞකික කටයුතුවලට අත පොවමින් තමන්ට අදාල නැති දේවල් කරමින් සිටී.





සෑම පුරවැසියකුටම දේශපාලන කටයුතුවලට මැදිහත් වීමට අයිතියක් තිබේ. එම අයිතිය සමාන විය යුතුය. එහෙත් සංස්කෘතික හා සිවුරට තිබෙන ගරු කිරීම නම් පලිහ ඉදිරියට දාගෙන අනෙක් සාමාන්‍ය මිනිසුන්ට තිබෙන අයිතියට ඉතා වැඩි අයිතියක් චීවරධාරින් නියමින් හා අනියමින් ඉල්ලා සිටී. සමාජය එතරම් නොදියුණු කලෙක භික්ෂූන්ට යම් වැඩිමනත් බලයක් තිබුණා විය හැකිය. එය යුක්තියුක්තය. එහෙත් දැන් සමාජය දියුණුය (තවත් බොහෝ දියුණු වීමටද තිබේ). එනිසා අතීතයේ තිබුණා යැයි කියන එම බලය දැන් කිසිසේත් යම් පිරිසකට පමණක් දිය නොහැකිය. ඉස්සර සියලු බලය රජා නම් එකෙකු තුල සංකේන්ද්‍රණය වූයේය. එහෙත් අද අප කවුරුත් රජකුට හෝ බලය එලෙස එක් කෙනෙකුට පමණක් කේන්ද්‍රවීමට කැමති නැත. රාජපක්කයාට බල්ලකු සේ ගෙදර යෑමට සිදු වූයේද එම වැරද්ද කරන්නට ගිය නිසාය.

ඉතිං, තත්කාලීන සමාජය මොලයක් තිබෙන හැම එකාම තේරුම් ගත යුතුය. සමාජය ගතිකය. එය අඩුම ගානේ ආණ්ඩුවටවත් තමන්ට ඕන ඕන විදියට මෙහෙය විය නොහැකි ප්‍රවාහයකි. ආගමික පර්ෂදයන් මෙය වටහා ගත යුතුය.
Read More »

Sunday, September 24, 2017

ලංකාවේ ආධුනික ගුවන් විදුලි ශිල්පය වෙනුවෙන් නිකුත් කළ මුද්දරය

0
1983 ජනවාරි 17 වැනිදා ලංකාවේ තැපැල් දෙපාර්තමේන්තුව විසින් ලංකාවේ ආධුනික ගුවන් විදුලි සංගමයේ (Radio Society of Sri Lanka) 55 වැනි සංවත්සරය සිහි කිරීම සඳහා විශේෂිත සැමරුම් මුද්දරයක් නිකුත් කරන ලදි.එහි වටිනාකම රුපියල් 2.50කි.

The following is a special stamp to commemorate the the 55th anivesary of the Radio Society of Sri Lanka, issued on 17th of January, 1983 by the postal department of Sri Lanka.

එම මුද්දරය නිකුත් කිරීම වෙනුවෙන් තැපැල් දෙපාර්තමේන්තුව නිකුත් කළ සටහන (bulletin) පහත දැක්වේ.

The bulletin related to the above stamp is shown below.


එම මුද්දරය සමඟ ඉදිරිපත් කළ මුල් දින කවරයද පහත දැක්වේ.

The first day cover is also shown.


මුද්දරය මා අන්තර්ජාල සෝදිසි කිරීමකදී යම් කලක ඉහතදී ලබා ගත් එකකි (එනිසා මූලාශ්‍රය මතක නැත). බුලටින් එක හා මුල් දින කවරය ලබා දුන්නේ රොඩ්නි (Rodney Martenstyn) මහතාය. මෙම බුලටිනයේ ඇත්තටම ලංකාවේ ආධුනික ගුවන් ශිල්පයේ වැදගත් ඉතිහාස තොරතුරු කිහිපයක්ද ඇත.

I found the stamp some time ago in a google search, and the bulletin and the first day cover were obtained from Mr. Rodney Martenstyn. You can find a few important facts in the history of amateur radio in Sri Lanka from this bulletin.
Read More »

Saturday, September 16, 2017

සිල් රෙදි හොරු හා සිවුරු හොරු

2
කහ පාට කසාවතක් පොරවා ගත් පලියට කඳ බඩ තිබෙන ඕනෑම ගොනෙකුට ගෞරවනීය බුද්ධ පුත්‍රයකු විය නොහැකිය. කොටින්ම බුදු දහම තුල කහපාට චීවරය හුදෙක් විලි වසා ගැනීමේ ක්‍රමයක් විනා විදර්ශනා මාවතේ අත්‍යවශ්‍ය හෝ අවශ්‍ය සාධකයක් නොවේ. බුද්ධ කාලයේ සිට දැනුදු චීවරය දරන ශ්‍රමනයන්, අනගාරිකයන් ආදියද සිටී. ඒ සියල්ලන්ම පොදුවේ චීවරධාරින් වේ. සිවුර නොව එම සිවුර තුල සිටින පුද්ගලයාවයි අප ගෞරව කරන්නේ හෝ හෙලා දකින්නේ.

බුදු දහම හා නිවන් මඟ පසෙකලා දේශපාලනය ආගම කර ගෙන දහමට පටහැනිව ක්‍රියා කරන කාලකන්නි මුඩ්ඩපබ්බජිතයන්ට අඩුම ගානේ හාමුදුරුවරුවරුන් නොකියා චීවරධාරි යැයි වචනයෙන් හැඳින්වීමම පැසසිය යුතු තත්වයක් බව තමන්ගේ බූදලය සේ බුදු දහම කොටස් කර ගෙන සිටින හා එ් තුලින් සුඛෝපභෝගි ජීවත ගත කරන ඒරියා මැනේජර්ලා බදු නිකාය නායකයන්ට නොතේරේ.

දශක ගණනාවක සිට සිවුරු දරා සිටින දූෂිතයන් හා අපරාධකරුවන්ට චීවරධාරියා යන නමින් ආමන්ත්‍රණය කර තිබේ. උදාහරණයක් ලෙස, බණ්ඩාරනායක අගමැතිට වෙඩි තිබ්බේ අහවල් චීවරධාරියා කියායි අපද කුඩා කල ඉගෙන ගත්තේ. යම් අපරාධමය කටයුත්තකට වැරදිකරුවන් වූ විටද එවුන්ට හාමුදුරුවන් නොකියා චීවරධාරියා යැයි පවසන සම්ප්‍රදායක් ඇත. ඒ කිසිවක් නිසා නොව, බුදු දහමට සිදුවනවා යැයි සිතන අවනම්බුව අවම කිරීමටයි. දැනුදු අධිකරණයෙන් දඬුවම් ලබා දුන් දූෂිතයන් ආරක්ෂා කරන, පාහරයන් වෙනුවෙන් කඩේ යන, වැරදි ආකාරවලින් වරප්‍රසාද ලබා සිටි වනචර කාලකන්නි චීවරධාරින් අතලොස්සට චීවරධාරි යන වචනයද ගරුතර වැඩිය.

ඔය මහා ලොකු සංඝ නායකයන් කළ යුත්තේ සංඝ සමාජය දූෂිතයන්ගෙන් පිරිසිදු කර ගැනීමයි. දහාජරා වැඩ කුමක් කළත් අද එවුන්ට සිවුර දරා ගෙන සිටිය හැකි මුක්තියක් තිබේ. තිරස්චීන යැයි බුදු හිමියන් විසින් සම්මත සියල්ල කරන වනචරයන් අද සිවුරු දරාගෙන පමණක් නොව, විවිධ තානාත්තරද නායක පට්ටම්ද ලබා වැජඹේ. අස්ගිරි නායකයන්ට අනුන්ගේ ඇසේ පොල් කෙන්ද පෙනුනත් තමන්ගේ ඇසේ තිබෙන පොල් පරාල නොපෙනේ. ඇත්තෙන්ම මෙවැනි තත්වයන් නිසා දවසින් දවස සංඝයා කෙරෙහි කලකිරෙන අය එකා බැඟින් හෝ වැඩි වෙනවා මිස ඊට පැහැදෙන්නේ නැත.

බුදු දහම කෙලසන්නේ තමන්ට අකැප හෝ අදාල නැති ගිහි වැඩ කරපින්නාගෙන නමට පමණක් සිවුරු දරා සිටින චීවරධාරින් හා උන්ව ආරක්ෂා කරන සමාජයේ ඉහල වරප්‍රසාද විඳින නායක යැයි කියා ගන්නා අය මිස වෙනත් එවුන් නොවේ. සමහරවිට බුදු රඳුන් විසින්ම දේශනා කරන ලද පරිදි බුදු දහම කෙලෙසන කාලකන්නි ටික  දැන් බිහි වෙමින් පවතින බව පෙනේ. මෙවුන් ගිහියන් නොව, විවිධ මුහුනුවරින් සිටින චීවරධාරින් හා නායක පට්ටම් දරන (සමහර) සංඝයාම වේ. බුදු දහම දේශපාලනය හෝ අවුරුදු දහස් හෝ කෝටි ගණනක වුව සම්ප්‍රදායන් හෝ විසින් කිසිසේත් සංස්කරණය විය නොහැකිය. එනිසා, බුදු දහමින් පිට අනවශ්‍ය ජඩ වැඩකටයුතු කරන කිසිවෙකුට අප ගරු කළ යුතු නැත ඒකා කසාවත පොරවන් මොන නායක තනතුරු දැරුවත්.

රටේ නීතියට අනුව නිල උසාවියකින් වැරදි කරුවන් බවට පත් කළ එවුන්ට සහය පිනිස සල්ලි හිඟා කමින් යන "සංඝයා" පෙලක් අද දක්නට ලැබුණි. බුදු දහමට මෙය ඉතා විශාල අපහසයකි; කලු පැල්ලමකි. එවන් බරපතල වැරද්දක් වැලැක්වීමට මහා ලොකු අස්ගිරි නායකයන්ට හැකිද? එම හිඟමනේ යවපු සංඝයා අතර හයක් හතරක් නොතේරෙන සාමනේර හිමිවරුන්ද සිටි බව දැකීමෙන් මහත් දුකක්ද ඇති විය. සිවුරු දරා සිටියත් නොසිටියත් ඒ අය ළමුන් වේ. ඒ අහිංසකයන් හැර අනෙක් එවුන් කම්බ හොරු වේ; හිටපු රජාගේ උපදේශවරුද, උගේ පස්ස සෝදපු එවුන්ද වේ. ඒ කාලයේ සිට අවකල් ක්‍රියාවලට චෝදනා ලැබූ එවුන් චීවරධාරි ටික එකවර මාර්ගපල ලාභින් සේ සලකන්නට ඔලුවක් තිබෙන අයට නොහැකිය.

සිවුර යනු ඕනෑම වනචර ක්‍රියාවක් නිදොස් කළ හැකි මායා බලයක් නොවේ. නැවත කියන්නේ අපට අඳින ඇඳුමෙන් වැඩක් නැත. පුද්ගලයා කරන ක්‍රියාව පමණයි සලකන්නේ. එවැනි දූෂිතයන් සිවුරු දරා සිටී නම්, උන්ගේ සිවුරු ගැලවීම ඒරියාමැනේජර්ලාගේ (නිකාය නායකයන්ගේ) අත්‍යන්ත වගකීම වේ. උන්ට මුක්තිය ලබා දෙන්නේ නම්, උන්ගේ ක්‍රියාවන්ට නඟන චෝදනා, ගැරහීම්, අපහස, උපහසද අසාගෙන සිටිය යුතුය. අප ආගමික පරිපාලන කටයුතු විවේචනය කරන්නට ගියේ නැත. ගිහියන්ට අයත් දේශපාලන කරුණු ගැනයි මේ සියල්ල පැනනැඟී ඇත්තේ.
Read More »

Saturday, September 9, 2017

වන්දිභට්ටයන්ගේ වැමෑරීම

0
සරත් ෆොන්සේකා යනු යම් කලකට පෙර රටේ වීරයෙකි. එහෙත් මේ වන විට වෛරයෙන් හා මානසික ව්‍යාධිවලින් විකෘති මානසිකත්වයෙන් පෙලෙන කලවැද්දෙක් බවට පත්ව ඇත. ඔහු කැමැත්තෙන් දේශපාලනයෙන් විශ්‍රාම නොයන්නේ නම් ඇමතිකම ගලවා පැත්තකට කර තැබිය යුතුය. ඇමතිවරුන්ට කෝටි ගණන් වටිනා වාහන හා කාර්යාල අත්‍යවශ්‍ය බව විලි ලැජ්ජා නැතිව පවසන ඌ තමන්ට ලැබුණු ඇමතිකමින් හා කෝටි ගණන් ජනතා මුදලින් නඩත්තු වන වරප්‍රසාද යොදා පකිස් බූරුවෙකුටවත් වැඩක් වෙනවා අප දැක නැත.

එහෙත් උෟ විසින් ජගත් ජයසූරියට සිදු කරන යුධ අපරාද චෝදනා නිකංම අහක නොදා රට තුල විභාග කළ යුතුය. එම චෝදනා ඔප්පු වුවොත් ජයසූරියට අදාල දඬුවම් දිය යුතු අතර, චෝදනා සාවද්‍ය නම් කලවැද්දාව හිරේට දැමිය යුතුය. ත්‍රස්තවාදින්ව මැරීමට මිස ඒ අස්සේ අහිංසකයන්ට හිරිහැර කිරීමට කාටත් බලයක් නැත. බොරු ජාතික, ආගමික හැඟීමක් ආරූඪ කරගෙන සොයන්නේ බලන්නේ නැතිව යුද අපරාද සිදු වුණා හෝ නැතැයි කීමම  විහිලුවකි.

රතුපස්වලදී හමුදාව විසින් සිදු කළ ව්‍යසනය මා ඇසින්ම දැක්කෙමි. අමු තුච්ඡ තිරිසනුන් සේ හමුදාව එතැන හැසිරිණි. එය යුද අපරාදයක් නොවුණත් සහසික අපරාදයකි (ඊට දඬුවම් දෙන තුරුත් අප නොඉවසිල්ලෙන් බලා සිටිමු). එදා සිට මා ඇතුලු එම ප්‍රදේශයේ ඉතා විශාල පිරිසක් කියන්නට වූයේ සිංහලයන්ට මෙලෙස සැලකුවා නම්, යුද්දෙ අස්සේ දෙමල අයට කෙසේ සලකන්නට ඇත්දැයි කියාය. එනිසා යුද්ධ කාලයේදී යුද අපරාද ඇති වන්නට ඇතැයි සැකයක් ඇත. එය විමර්ෂනය කළ යුතුය.

නිකරුනේ අසාධාරණයකට ලක් වූ කොන්දක් තිබෙන එකෙකුට තමන්ට සාධාරණය ඉටු වෙන තුරු නිවනක් නැත.  එනිසා එම ප්‍රදේශවල වෙසෙන දෙමල ජනයාට එම සැනසිල්ල ලබා දෙන තුරු සත්‍ය ලෙසම මහා පොලොවේ සංහිඳියාව ඇති කළ නොහැකිය. එය තමයි මානුසික ස්වභාවය. එය වීරවංශ, ඇල්ලේ ගුණවංශ ආදි එක එක ජාතිවාදින්ගේ මෝල් මානසිකත්වයෙන් කියන ප්‍රකාශ හා මතවාදවලින් සමනය නොවේ. අපරාද කර නැතිනම් බය වන්නට දෙයක් නැත. අපරාද කර ඇත්නම් දඬුවම් දිය හැකිය. ඒ දෙකම යුක්ති සහගතය. බැරිවෙලාවත් දේශිය වශයෙන් එය සිදු කරන්නේ නැතිනම්, විදේශීය බලහත්කාරය මැද වුවද එය සිදු වනු ඒකාන්තය. එවිට කටමැත දොඩවන එවුන්ට නැට්ට පස්සෙ ගහගෙන නිවටයන් ඒ දෙස බලා සිටීම හැර වෙන කරන්නට දෙයක්ද නැත.

රාජපක්කගේ ජඩවැඩ ත්‍රස්තවාදය හමුවේ මුඛයෙන් තියා අධෝමුඛයෙනුත් ශබ්ද නඟන්නට බිය වූ පරයන් අද තිබෙන නිදහස (මේ ලැබී තිබෙන නිදහස ගැන ඇත්තටම අපට සතුටුය) තුල පුවත් සාකච්ඡා සිදු කරයි. රාජපක්ක සමයේ දවසක් මාධ්‍යවේදියෙකු එක්තරා කලාකරුවෙකුගෙන් ඇසුවේ රටේ සිදුවන අක්‍රමිකතා ගැන ඔබතුමා සිතන්නේ කුමක්ද කියාය. එවිට බොහෝම ශාන්තිවාදි විලාසයක් පෙන්නූ ඔහු පැවසුවේ තම තමන්ගේ සිත පාලනය කරගෙන එවැනි දේවලින් කිපෙන්නේ නැතිව සිටීමට උත්සහ කළ යුතු බවයි. එසේ කියා අර කිසිදු ජඩකමක් ගැන එක වචනයකුදු පැවසුවේ නැත. ඒ කාලයේ එම අසාධාරණවලට එරෙහිව ඔහු වචනයකුදු කියනු අප දැක නැත. එහෙත් ඊයේ මා ඔහුව දැක්කේ ඇල්ලේ ගුණවංශව රැක ගැනීමට හා ජාතිය රැක ගැනීමට සටන් පෙරමුණක සිටිනවා. එම කලාකරුවා වෙන කවුරුවත් නොව, රෝහන බැද්දගේය.

ෆොන්සේකාගේ ප්‍රකාශයට ප්‍රතිචාර වශයෙන් ඇල්ලේ ගුණවංශ නම් චීවරධාරියා කියා සිටින්නේ ලබන පාර තමනුත් දේශපාලන වේදිකාවේ සිටින බවයි. සමහරවිට ඔහු සිතනවා විය හැකියි එය මහා ලොකු දෙයක් කියා. අපට නම් එය කෙල පිඩක් තරම්වත් වැදගත් කමක් නැත. තමන්ව මහා ලොකු කෙරුමන්ලා කියා සිතන් සිටි හැමෝම එකම රාජපක්ක වේදිකාව මත සිටියදී තමයි එම කඳවුර පරාද වූයේ. එදත් ඔය මහාලොකු ගුනවංශ සිටියේ එම වේදිකාවේ තමයි.

රාජපක්කගේ අධම පාලනය තුල රටේ මුදලින් වරප්‍රසාද ලැබූ චීවරදාරින්, කලාකරුවන්, හා වෘත්තිකයන් දෙකොට්ඨාශයක් සිටියා. එක් කණ්ඩායමක් ඒවා භුක්ති විඳිමින් ප්‍රසිද්ධියේම රාජපක්ක වන්දනාවේ නියැලුණා. තවත් කණ්ඩායමක් රාජපක්කයන්ට ළැඳියාවක් තිබෙන බව නොපෙන්වා ශාන්තිවාදින් සේ සැඟව සිටියා. අර චිත්‍රපටවල කුඩු ව්‍යාපාරිකයන්, ගණිකා මඩම් පවත්වාගෙන යන අය, ත්‍රස්තවාදී නායකයන් සමාජය ඉදිරියේ සුදු ඇඳුම් ඇඟගෙන ගුණවත් අය සේ පෙනී සිටින්නා සේ මෙවුන් සමාජයේ සැඟව සිටියා. රාජපක්කට බය නැතිව තමන්ගේ ජඩකම පවත්වාගෙන යෑමට ඇත්තටම ශක්තිය ලැබුණේ මෙවුන්ගෙන්ය. අද මෙම දෙකොට්ඨාශයම සමාජයට නිරාවරණය වෙමන් පවතිනවා. කෙලෙහි ගුණ දක්වන්නට උන්ට වරප්‍රසාද ලබා දුන් හාම්පුතාලා විසින් අද ඔවුන්ටත් බල කෙරෙනවා. දැන් ඉතිං වමාරන්න උන්ටත් සිදු වී තිබෙනවා. රට, දැය, ආගම, රණවිරුවා යන බෝඩ් එල්ලාගෙන එය සිදු කරනවා.
Read More »

Friday, September 8, 2017

අපේ කාලයේ අනේපිඬු සිටුවරු

2
ලංකා ඉතිහාසයේ ඉතා වැදගත් සංධිස්ථානයක් ලෙස සටහන් කළ හැකි නඩු තීන්දුවක් ලෙස සිල් රෙදි හොරු දෙදෙනා වන හිටපු ජනපති ලේකම් හා විදුලි සංදේශ නියාමන කොමිසමේ හිටපු සභාපති හා මහින්ද රාජපක්කගේ ඥාති ලලිත් වීරතුංග හා විදුලි සංදේශ නියාමන කොමිෂමේ හිටපු අධ්‍යක්ෂ ජනරාල් අනූෂ පැල්පිටට ලබා දුන් දඬුවම සැලකිය හැකිය. මේ ගැන අපත් කාලයක් පුරාවටම නොඉවසිල්ලෙන් බලා සිටියෙමු. කෙසේ වෙතත් ලබා දුන් දඬුවම ලිහිල් වැඩි යැයිද සිතේ.

මුං දෙදෙනා ජනතා මුදල් ජනාධිපති මැතිවරණයේදී හිටපු කුපාඩි වනචර රජා වන මහින්ද පර්සි රාජපක්කට වාසි සැලසෙන පරිදි අවභාවිතා කර ඇත. එය එසේ මෙසේ ගණනක් නොව, රුපියල් ලක්ෂ හයදහකි. උසාවිය නිවැරදි ලෙසම එය මැතිවරණ අල්ලසක් හා රාජ්‍ය දේපල අවභාවිතයක් ලෙස සලකා නඩු තීන්දු ලබා දීම ප්‍රසංසනීය වේ.

එහෙත් අද වන විට එම දඬුවම කනපිට හරවන්නට රාජපක්කගේ හොර නඩය ක්‍රියාන්විත අරඹා ඇත. රාජපක්ක ලොල්ලෙකු වන රියර් අඩ්මිරාල් සරත් වීරසේකර පවසන්නේ ආණ්ඩුක්‍රම ව්‍යවස්ථාවේ බුදු දහමට ප්‍රමුඛතාව ලබා දීම යන ව්‍යවස්ථාව ක්‍රියාවට නැඟීමක් ලෙස සිල් රෙදි බෙදීම සැලකිය යුතු බවකි. මෙම දඬුවමින් රාජ්‍ය ආයතන බුදු දහමට කරන අනුග්‍රහයන් නැවතී යෑමට ඉඩ ඇති බව ඒකා දොඩවයි. තවත් මුඩ්ඩපබ්බජිතයන් කිහිප දෙනෙකුද එවැනිම මත දක්වනු පෙනුනි. සිල් රෙදි හොරු දෙන්නා මුංට අනුව මහා ධනපති හා දානපති අනේපිඬු සිටුවරුය. උන්ගේ පෞද්ගලික මුදලින් අසූ කෙලක් වියදම් කර සිල් රෙදි බැරි නම් යට ඇඳුම් බෙදා දුන්නත් අපට කම් නැත. එහෙත් මේ රෙදි හොරුන් දානපති වී තිබෙන්නේ අපේ මුදල් වියදම් කරමින්ය.

බුදු දහමට ඇත්තටම නිගරු කරන්නේ වීරසේකර හා අර චීවරදාරින් වැනි තුච්ඡයන්ය. තමාගේ එකා හොරකම් කරන විට එය දානයක් සේ (අසාරය සාරය ලෙස) දකින එවුන් මිච්ඡා සංකප්පයෙන් ජීවත් වන පාපතරයන්ය. උන් අර පෙදෙසේ මේ පෙදෙසේ ආදි ලෙස සංඝනායක පදවි දැරූ පලියට එම සත්‍ය වෙනස් නොවේ. මුංගේ වාසියට අර තරම් වටිනා දහමත් වෛශ්‍යා වෘත්තියේ යොදවන්නේ මුන්ය. බුද්ධ රුවක් රෙද්දක ප්‍රින්ට් කර තිබෙන විටත් නීතිය ක්‍රියාත්මක වන රටේ හරි නම් මෙලෙස අමු අමුවේ බුදු දහම විකෘති කරන, බුදු දහම අනාචාරයේ යොදවන, වනචර ක්‍රියාවන් බුදු දහමින් විසුද්ධිකරණය කරන මෙවන් අධමයන්ට නීතිය ක්‍රියාත්වක කළ යුතු වේ.

තවද රාජපක්ක හා අගමැත්තා අතර හමුවක් ඊයේ පවත්වා තිබේ. එහිදී අගමැත්තාද මෙම දඬුවම ගැන මවිතයට පත් වූ බව රාජපක්ක කියයි. ඊට අගමැත්තා දෙන පිලිතුර කුමක්දැයි බලා සිටිමු. සංචාරක ඇමති ජෝන් බාස්ද වීරතුංගට සුදු හුනු ගානු මාධ්‍ය ඔස්සේ දැකිය හැකිය. රාජපක්ක කාලේ උ සමඟ රට සවාරිවලට ජෝන් බාස්ව එක්කං ගිහිපු එකට කරන කල ගුණ සැලකීමක් ලෙස එය සැලකිය හැකිය. හැම එකාම බලන්නේ තමන්ට සිදු වූ වාසි අවාසි මිස, සාධාරණත්වය හා රට ගැන නොවේ.

ඊයේ බරපතල වැඩ සහිතව හිරේට යවපු රෙදි හොරු දෙන්නා අද බන්ධනාගාර රෝහලේ ලැඟුම් ගෙන ඇත. හෙට ජාතික රෝහලේ ගෙවන වාට්ටුවටත්, අනිද්දා පෞද්ගලික රෝහලකත් ඇඩ්මිට් කළොත් එහි පුදුම වන්නට දෙයක්ද නැත. උස් තැන් දැක හැකිලෙන මිටි තැන් දැක පුප්පන කාලකන්නි නිළධාරින් සිටින රටක සිටීමේ ප්‍රතිපලය එයයි. අනුපාතයක් හෝ ප්‍රතිශතයක් ලෙස ගත් විට වනචර ප්‍රභූන් බන්දනාගාර ගත වන විට රෝහල් ගත වීම හා සාමාන්‍ය ජනයා එලෙස බන්දනාගාර ගත වීමෙන් රෝහල්ගත වීම ගැන බැලූ විට ඕනෑම කෙනෙකුට මෙතැන ඇති වංචාව පෙනේ. නීතිය ක්‍රියාත්මක වීමේදිත් නීතිය හා මූලික මිනිස් අයිතිවාසිකම් (සැමෝටම එක සැලකිලි ලැබීම) කැඩෙන රටකි ලංකාව.

මෙනිසා වටිනා උසාවි තීන්දුවක් ආරක්ෂා කිරීමට හා අර කියූ ජාතියේ රටේ පවට උපන් කාලකන්නින්ගේ හා හොරුන්ගේ ක්‍රියාන්විත ආපස්ස හරවන අරගලයක් දැන් සිවිල් සමාජය තුල ඇති විය යුතුය. නැතිනම්, ප්‍රායෝගික තලයේදී වැරදි කිරීමට රාජ්‍ය නිලධාරින් බිය නොවනු ඇත. හැකි ඉක්මනින් අනෙක් දූෂිතයන්ටද මෙලෙසම නීතිය ක්‍රියාත්මක කරවීමට බලපෑම දැඩි කළ යුතුය. එසේ නැති වුවොත්, දෙපැත්තේම හොරු තම තමන්ව ආරක්ෂා කර ගැනීමට ඩීල් දමනු ඇත. දැනටමත් ඩීල් ආරම්භ වී ඇති බව පෙනේ. මහාබැංකු බැඳුම්කර හොරුන්ට රාජපක්ක හොරු හිලව් වී යෑමට ඉඩ ඇත.

දැන්වත් ජනපති පඹයාට අර පිනෝකියෝට මෙන් පන ඒවා යැයි ප්‍රාර්ථනා කරමු. එසේ නොවුණොත් ඉතිහාසයේ මෙම වකවානුව හොරු දැක දැකත් හිටං හිටපු නපුංසක ජනපතියෙක් සිටි කාලයක් සේ සටහන් වනු ඇත.
Read More »

Tuesday, September 5, 2017

රනිල්ගේ සදාතනික නිධානය (Ranil's Perpetual Treasury)

0
මේ වන විට ලංකාවේ මෙතෙක් සිදු කළ විශාලතම සාපරාධි වංචාව ගැන සියලු කරුණු හෙලි වී හමාරය. මේ සමඟ මට දේශපාලනික හා නෛතික වශයෙන් මතු වූ ගැටලුවක් ඇත. එනම්, ලංකාවේ පුරවැසියකුද නොවන පරයෙකු වන අර්ජුන මහෙන්ද්‍රන් ලංකාවේ ඉහලතම හා වැදගත්ම මූල්‍ය සංස්ථාව වන මහා බැංකුවේ අධිපති කළේ එවක හා දැනුදු අගමැත්තා වන පරයන්ට ගැති රනිල් වික්‍රමසිංහගේ පෞද්ගලික මැදිහත් වීම මතය. රනිල් විසින් අර්ජුන වෙනුවෙන් පෞද්ගලිකව වගකීම ගන්නා බවට සහතික වී තිබේ. දැන් එම වගවීම හා වගකීම රනිල් විසින් කෙසේ ඉටු කරන්නේද යන්න අපි මඟ බලා හිඳිමු.

දැන් රනිල් වහම අගමැතිකමින් ඉල්ලා අස්විය යුතුය. ඌ ඉල්ලා අස් නොවේ නම්, ජනපති විසින් ඌව ඉවත් කළ යුතුය හරියටම විජේදාසව ඉවත් කළා වගේ. එහෙත් නපුංසක ජනපති රනිල්ගේ කීමට තම ගැහැනිව දික් කසාද කර දැමුවත් රනිල්ව අත් හරින්නේ නැති බව නම් ස්ථිරය. එතරම් මෛත්‍රී රනිල්ට "ලොල්ය".

මේ සම්බන්දයෙන් රනිල් ඉල්ලා අස්වෙනවා තියා එම මහා වංචාව සම්බන්දයෙන් තවමත් බැංකු මංකොල්ලකරුවන් ආරක්ෂා කරමින් සිටී. මෙතරම් කාලකන්නි වනචර සාපරාධින්ව රටේ දෙවැනි පුරවැසියා විසින් නිර්භයව ආරක්ෂා කරමින් සිටීමම රටේ නීතියේ ආධිපත්‍යය කොතරම් වලපල්ලට ගොස් ඇත්දැයි පෙන්වා දෙයි. සමහරවිට සොත්ති උපාලි සීසන් 2 රනිල් විසින් රඟ දක්වනවා විය හැකිය.

වරදේ ස්වභාවය හා බැරෑරුම්කම සලකන විට අගමැති ඉල්ලා අස්වීම පමණක් වුවද ප්‍රමාණවත් නැතැයි මාගේ හැඟීම වේ. අපරාධ චෝදනාවෙන් කොටසක් ඔහුටත් එල්ල කර ඌටත් නීතිය ක්‍රියාත්මක විය යුතුය. දැනටත් දේශපාලුවන්ගේ වගවීම් හා වගකීම් ගැන ඉතා පහල ඇගයීමක් බුද්ධිමත් හා සෙසු ජනයාට ඇත. මෙම සිද්ධිය සම්බන්දයෙන් අගමැති තමන්ගේ වගකීම ප්‍රදර්ශනය නොකරයි නම් හෝ ජනපතියා හා නීතිය විසින් රනිල් ඇතුලු වංචනිකයන්ව ආරක්ෂා කරයි නම්, ඉන් අනියමින් කියන්නේ නීතියේ ආධිපත්‍යය හා යුක්තිය සමාදානයේ සතපා ඇති බවයි. එසේ නම්, සන්නද්ධ අරගලයකින් හෝ මේ දූෂිතයන් පලවා හැරීම සිදු කළ යුතුය.
Read More »

Monday, September 4, 2017

දෛශික (vectors) - 18 (eigenvector)

6

රේඛීය පරිනාමනය

ශ්‍රිතයක් පහත කොන්දේසි දෙකම සපුරන විට, එම ශ්‍රිතයේ රේඛීය ලක්ෂණ තිබෙන බව හෙවත් එම ශ්‍රිතය රේඛීය ශ්‍රිතයක් යැයි කියනවා.

1. f(ax) = af(x)
2. f(x + y) = f(x) +f(y)

උදාහරණයක් ලෙස, d(4x3+x2)/dx යන අවකලනය රේඛීය පරිනාමන ලක්ෂණය සහිත වේ මොකද එය 4dx3/dx + dx2/dx ලෙස ලියා සුලු කළ හැකිය.

ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තිබෙන යම් ලක්ෂ්‍යයක් ගත් විට එය අපට විවිධාකාරයෙන් වෙනස් කළ හැකිය. මෙවැනි වෙනස් කිරීම් ඉහත කොන්දේසි දෙක සපුරන ලෙස සිදු කරන විට රේඛීය පරිනාමනය (linear transformation) ලෙස හැඳින්වෙනවා. යම් ලක්ෂ්‍යයක් පිහිටුම් දෛශිකයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි නිසා, දෛශිකද ඉහත කොන්දේසිවලට යටත්ව පරිනාමනයන් සිදු කරන විට දෛශික පරිනාමනය (vector transformation) ලෙසද එය හැඳින්වේ.

රේඛීය පරිනාමනය ජ්‍යාමිතික වුවත්, ක්‍රියාත්මක වන්නේ ශ්‍රිත මෙන්ය; එනම් යම් ලක්ෂ්‍යයකට අදාල අගයන් ඇතුලු කළ විට, එම දෛශිකය මත යම් පරිනාමයනයක් සිදු වී එම පරිනාමනය වූ ලක්ෂ්‍යයේ අගයන් පිට කරයි.

විද්‍යාව හා තාක්ෂණයේදි රේඛීය/දෛශික පරිනාමනය ඉතා වැදගත් තැනක් උසුලයි. පළමුව ඒ ගැන ඉතා කෙටියෙන් බලමු.

පරිනාමනය රේඛීය බව පහත ආකාරයට සාධනය කළ හැකිය. පදනම් දෛශික 4ක පද්ධතියක ඒ ඒ පදනම් දෛශික පහත ආකාරයට තීරු න්‍යාස ලෙස නිරූපණය කළ හැකියි.

ඉහත එක් එක් පදනම් දෛශිකය මත සිදු කරන රේඛීය පරිනාමනයන් පහත ආකාරයට ඉදිරිපත් කළ හැකිය (පහසුව තකා පදනම් දෛශික දෙකක පද්ධතියක් පමණක් සලකමු). මෙය තේරුම් ගත යුත්තේ මෙසේය. (1,0) යනු පලමු පදනම් දෛශිකයනෙ. ඒ මත සිදු කරන පරිනාමය (L) තමයි (3,2) ලෙස ඇති තීරු න්‍යාසයෙන් පෙන්වන්නේ.

දැන් අපි බලමු ඉහත පරිනාමනය (-3, 4) යන ලක්ෂ්‍යය මත සිදු කරන අයුරු. පහත සුලු කිරීම තුල (1) හා (2) යනු රේඛීය කොන්දේසි දෙක බව පෙනේ. අවසානයේ ලැබී තිබෙන පිලිතුර වන (-17,14) යනු පරිනාමනයට ලක් වූ ලක්ෂ්‍යය වේ.

ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් මත යම් ලක්ෂ්‍යයක් හෝ රේඛා ඛණ්ඩයක් දෛශිකයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකියිනෙ. මෙවැනි ලක්ෂ්‍යයක් හෝ රේඛා ඛණ්ඩයක් නිරූපණය කරන දෛශිකයක් අපට එම ඛණ්ඩාංක තලය මත ප්‍රධාන ආකාර කිහිපයකින් පරිනාමනය කළ හැකියි. පහත දැක්වෙන්නේ එවැනි ප්‍රචලිත පරිනාමන කිහිපයයි.

1. උත්තාරණය (translation)
2. ප්‍රතිබිම්භනය (reflection)
3. භ්‍රමණය (rotation)
4. විස්තරණය (dilation)

යම් දෛශිකයක පදනම් දෛශික හා සංරචක පේලි හා තීරු න්‍යාස දෙකක ගුණිතයක් ලෙස දැක්විය හැකි බව මොහොතකට පෙර දැක්කා. එලෙසම යම් දෛශිකයක් මත සිදු කරන පරිනාමනයන්ද න්‍යාසයකින් නිරූපණය කළ හැකිය පහත ආකාරයට. මෙවිට න්‍යාසයකින් පරිනාමනය නිරූපණය කෙරේ. මෙම න්‍යාසය (aij) එනිසා පරිනාමන න්‍යාසය (transformation matrix) ලෙස හැඳින්වේ.

ඉහත පෙනෙන ලෙස ඒකක/පදනම් දෛශික ඔස්සේ පවතින සංරචක මත පරිනාමන න්‍යාසය යොදා සුලු කළ විට අපට ලැබෙන්නේ පරිනාමනය වූ සංරචක සෙට් එකයි. මීට පෙර ගත් උදාහරණයම දැන් පරිනාමන න්‍යාසයක් ආකාරයෙන් යොදා ගෙන සුලු කර බලමු. පරිනාමන න්‍යාසය සෑදෙන්නේ එක් එක් පදනම් දෛශිකයට අදාල අගයන් සියල්ල පිලිවෙලින් තැබූ විට ලැබෙන සංඛ්‍යා පදධතියෙනි. බලන්න පිලිතුර පෙර අවස්ථාවේදී ලැබුණු පිලිතුරමයි. එහෙත් මෙහිදී ගණනය කිරීම කෙටි හා පහසුය.

උත්තාරණයේදී සිදු වන්නේ ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය මත තිබෙන යම් දෛශිකයක් එම අවකාශයේ වෙනත් තැනකට ගෙන යෑමයි. එය හරියට එක තැනක තිබෙන යම් භාණ්ඩයක් උස්සන් ගිහින් තවත් තැනක තබනවා වැනිය. පහත රූපයේ නිල්පාටින් පෙන්වා තිබෙන්නේ රෝසපාටින් පෙන්වා ඇති ලක්ෂ්‍ය සෙට් එකක උත්තාරණය කරපු ලක්ෂ්‍ය සෙට් එකයි .

භ්‍රමණය යනු යම් භ්‍රමන ලක්ෂ්‍යයකට (center of rotation) සාපේක්ෂව යම් ලක්ෂ්‍යයක් දැන් තිබෙන තැන සිට යම් කෝණයකින් කැරකීමයි.

 
ප්‍රතිබිම්භනයේදී යම් ලක්ෂ්‍යයක් හෝ ලක්ෂ්‍ය සෙට් එකක් (pre-image) යම් කිසි නිශ්චිත අක්ෂයකට සාපේක්ෂව ප්‍රතිබිම්භයක් ලෙස නිරූපණය වන සේ ලක්ෂ්‍ය හෝ ලක්ෂ්‍ය සෙට් එක (image) සැකසේ.

විස්තාරණයේදී සිදු වන්නේ යම් යම් ලක්ෂ්‍යය සෙට් එකක (pre-image) විශාලත්වය ලොකු කුඩා කර, එම හැඩයෙන්ම යුත් පරිනාමනය වූ ලක්ෂ්‍ය සෙට් එකක් (image) ලබා ගැනීමයි. පරිනාමනය වූ රූපය (image) මුල් රූපයට (pre-image) වඩා විශාල වන විට එය විශාලනය (enlargement) ලෙසත්, කුඩා වන විට එය ඌනනය (reduction) ලෙසත් හැඳින්වේ. ඉමේජ් එක හා ප්‍රීඉමේජ් එක අතර විශාලන අනුපාතය පරිමාන සාධකය/අනුපාතය (scale factor/ratio) ලෙස හැඳින්වෙනවා.

මේ ආදි ලෙස පරිනාමනයන් ගැන තවත් කරුණු ඇති අතර ඒ ගැන සොයා බලන්න. බොහෝ කරුණු මේ සම්බන්දයෙන් ඉගෙනීමට ඇති අතර, තාක්ෂණයේදී (පරිගනක චිත්‍ර හා චලන රූප හෙවත් animation වලදී) මේවා බහුලවම ප්‍රයෝජනයට ගැනේ.

දැන් නැවත අයිගන්දෛශික වෙත යොමු වෙමු. මෙයත් එක්තරා විදියකින් රේඛීය පරිනාමනයක් බව පැහැදිලියිනෙ (මොකද දිශාව වෙනස් නොවුණත් විශාලත්වය/දිග ලොකු කුඩා වීම සිදු වෙනවා). යම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් A ලෙස සංඛේතවත් කරමු. යම් දෛශිකයක් X ලෙස සංඛේතවත් කරමු. එවිට, එම දෛශිකය මත එම සමචතුරස්‍ර න්‍යාසය යෙදූ විට, එය AX හෝ [A]{X} ලෙස සංඛේතවත් කළ හැකියි. ඒ කියන්නේ X දෛශිකය මත A පරිනාමන න්‍යාසයෙන් යම් පරිනාමනයක් සිදු වේ.

අයිගන්දෛශිකයකදී සිදුවන පරිනාමය වන්නේ X දෛශිකයේ විශාලත්වය පමනක් ලොකු කුඩා වීමයි (scaling). එනිසා X නම් දෛශිකය λ නම් අගයකින් (විශාලත්වය) ලොකු කුඩා වීම λX හෝ λ{X} ලෙස ලිවිය හැකියි (දෛශික ගුණාකාරය). ඉතිං, A නම් න්‍යාසයෙන් සිදු කරන්නේද එයම නිසා පහත ආකාරයට සම්බන්දතාවක් ගොඩනැඟිය හැකියි.

        AX = λX

දැන් අපට කරන්නට තිබෙන්නේ ඉහත සම්බන්දතාව තෘප්ත කෙරෙන පරිනාමන න්‍යාසය (A) කුමක්ද යන්න සෙවීමයි. එය සොයන්නේ පහත ආකාරයට සුලු කිරීමෙනි. සමීකරණයේ දෙපස සමාන කොටස් (පදනම් දෛශික සෙට් එක) කපා දැමේ. තවද, සමීකරණයක් නිසා, වම් පැත්තේ තිබෙන්නේ න්‍යාසයක් බැවින්, දකුණු පසද වම් පස න්‍යාසයේ ගණයම තිබෙන න්‍යාසයක් තිබිය යුතුය. එහෙත් දකුණු පස තිබෙන්නේ නිකංම නියත පදයකි (λ). එහි වටිනාකම/අර්ථය වෙනස් නොවී න්‍යාසයක් බවට පත් කර ගන්නේ ඒකක න්‍යාසයෙන් (I) එම නියත පදය වැඩි කිරීමෙනි. ඉන්පසු, දෙපසම ඇති න්‍යාස නිශ්චායක බවට පත් කර ගැනේ.


ඉන්පසු දකුණු පස ඇති කොටස් වමට ගෙන ආ විට, ඉහත අවසානයේ දක්වා ඇති ආකාරයේ සමීකරණයක් සෑදේ. එම සමීකරණයේ A න්‍යාසයේ ලාක්ෂණික සමීකරණය (characteristic/secular equation of A) ලෙස හැඳින්වේ. ඉහත උදාහරණයේ තෙවැනි ගණයේ න්‍යාසයක් යොදා ගත්තද, මෙම සියලු විස්තර ඕනම ගණයක් සඳහා පොදුය. දැන් එම නිශ්චායක ආකාරයෙන් තිබෙන සමීකරණය සුලු කරන විට පහත ආකාරයට පත් වේවි.

(a11 - λ)[(a22-λ)(a33-λ) - (a23a32)] - a12[(a21)(a33-λ) - a23a31] + a13[a21a32 - (a22-λ)a31] = 0

කැමති නම්, ඉහත සමීකරණය තව දුරටත් සුලු කරන්න වෙන වෙනම පද දක්වාම. පෙනේවි එය උපරිමව λහි තෙවැනි බලයේ පදයකින් පටන් ගන්නා සමීකරණයක් බව (k1λ3 + k2λ2 + k3λ + k4 ආකාරයේ). දැන් මෙම සමීකරණයේ මූල සෙවිය හැකිය. මූල ගණන සමීකරණයේ ඇති උපරිම බලයට සමාන වේ. ඒ අනුව මෙම උදාහරණයේදී මූල 3ක් ලැබිය යුතුය. මෙම මූල A න්‍යාසයේ ලාක්ෂණික මූල (characteristic roots) හෙවත් ගුප්ත මූල (latent roots) හෙවත් අයිගන්අගයන් (eigenvalues) ලෙස හැඳින් වෙනවා.

මෙම අයිගන්අගයන් යනු එම න්‍යාසයට අදාල/ලාක්ෂණික අගයන්ය (වෙනත් න්‍යාසයකට එම අගයන් අදාල නොවේ). එම අයිගන්අගයන්ගෙන් කියන්නේ දෛශික දිශාව වෙනස් නොකර විශාලත්වය පමණක් වෙනස් කිරීමට අවශ්‍ය නම් ගුණ කළ යුතු සංඛ්‍යා වේ. මෙය සියුම්ව තේරුම්ගත යුතු තත්වයකි. ඒ කියන්නේ යම් පරිනාමන න්‍යාසයක් යම් දෛශිකයක් මත ක්‍රියාත්මක කළ විට, එම දෛශිකය පරිනාමනය වෙනවානෙ. එය පරිභ්‍රමණයක්, ප්‍රතිබිම්භනයක් හෝ වෙනත් පරිනාමනයක් විය හැකියි. එහෙත් එම පරිනාමන න්‍යාසය ඊට ගැලපෙන අයිගන් දෛශිකයක් මත ක්‍රියාත්මක කළ විට සිදු වන්නේ දිශාව වෙනස් නොවී විශාලත්වය පමණක් වෙනස් කිරීමයි.

ඉහත විස්තර මතකයේ රඳවා ගෙන උදාහරණයක් ගෙන අයිගන්අගයන් සොයන හැටි බලමු. පහත ආකාරයට සුලු කර ගත් පසු අවසාන වශයෙන් අයිගන්අගයන් දෙක 6 හා 1 ලැබුණි. න්‍යාසය දෙවැනි ගණයේ නිසා, අයිගන්අගයන්ද දෙකක් ලැබුණි.

අයිගන්අගයන් මඟින් දැන් අපට හැකියි අයිගන්දෛශික (eigenvector) සොයන්නට. කරන්නට තියෙන්නේ λ සඳහා ඉහත ආකාරයට ලැබුණු අයිගන් අගයන් ආදේශ කර [A - λI]X = 0 යන සමීකරණය විසඳීමයි. එය දැන් කර බලමු.

සුලු කරන විට පදනම් දෛශික දෙක (x,y) සඳහා සමීකරණ දෙකක් ලැබේ. ඇත්තටම x - 4y = 0 යන සමීකරණය -1න් ගුණ කළ විට -x + 4y = 0 ලෙස ලැබෙන අතර, එය ඊට පෙර ලැබුණු සමීකරණයට සමානයි නේද? (මෙලෙස ලැබෙන සමීකරණ දෙකක් සමාන වීම අහඹු සිදු වීමකි). දැන් x = 4y ලෙස හෝ y = x/4 (හෙවත් y/1 = x/4) ලෙස සකස් කර ගෙන x,y දෙකටම කුඩාතම පූර්ණ සංඛ්‍යා එන පරිදි අගයක් xට හෝ yට ආදේශ කරන්න. x=4 ලෙස ගත හැකිය; එවිට y = 1 වේ. එනිසා 6 යන අයිගන්අගයට අදාල අයිගන්දෛශිකය වන්නේ (4,1) හෙවත් 4x + y (හෙවත් 4i + j) වේ.

එලෙසම අනෙක් අයිගන්අගය ආදේශ කර නැවත ඉහත සුලු කිරීම සිදු කරන්න. නැවතත් එකම සමීකරණය දෙපාරක් අහඹු ලෙස ලැබී තිබේ. එම සමීකරණයක් y = -x ලෙස පත් කරගෙන, විචල්‍යය දෙකටම පූර්ණ සංඛ්‍යා ලැබෙන සේ ලබා දිය හැකි කුඩාතම/සරලතම අගයක් එක් විචල්‍යයකට ආදේශ කරන්න. x=1 ලෙස ගත හැකිය; එවිට y = -x = -1 වේ. ඒ කියන්නේ අයිගන්අගය 1 ට අදාලව ලැබෙන අයිගන්දෛශිකය වන්නේ (1,-1) හෙවත් x - y (හෙවත් i - j) වේ.

සාමාන්‍යයෙන් එකිනෙකට වෙනස් අයිගන්අගයන් ගණනට සමාන ගණනක් එකිනෙකට වෙනස් අයිගන්දෛශික ලැබේ. එකිනෙකට වෙනස් අයිගන්දෛශික යනු රේඛියව ස්වායත්ත දෛශික යනුයි. එහෙත්, මෙලෙස ලැබෙන අයිගන්දෛශිකයක් ඕනෑම නියත පදයකින් ගුණ කර අපට තවත් ඕනෑ තරම් අයිගන්දෛශික සාදා ගත හැකිය; මෙලෙස නියත පදයකින් ගුණ කර සාදා ගන්නා නියත පද රේඛීයව ස්වායත්ත නොවේ. උදාහරණ ලෙස, ඉහත උදාහරණයේදී රේඛීයව ස්වායත්ත අයිගන්දෛශික දෙක වූයේ (4,1) හා (1,-1) වේ. (4,1) සැලකුවොත් ඉන් රේඛීයව ස්වායත්ත නොවන හෙවත් රේඛීයව පරායත්ත (linearly dependent) අයිගන්දෛශික අනන්ත ගණනක් සාදා ගත හැකියි - 2(4,1) = (8,2), 3(4,1) = (12,3), 4(4,1) = (16,4), n(4,1) = (4n,n) ආදි ලෙස.

තවත් උදාහරණයක් ගමු. ඉහත සිදු කළ ලෙසටම සුලු කිරීම සිදු කළ විට පහත පෙන්වා ඇති පරිදි අයිගන්අගයන් තුන ලෙස -2, 3, 6 යන අගයන් ලැබේ.

දැන් ඉහත අයිගන්අගයන් එකින් එක ආදේශ කර මූලික (රේඛීයව ස්වාධීන) අයිගන්දෛශික සොයමු. දැන් අපට අයිගන්දෛශික තුන ලබා ගැනීමට අවශ්‍ය සමීකරණ 3ක් ලැබී තිබෙනවා. මේවා සමගාමී සමීකරණ ආකාරයට හෝ ඔබ දන්නා ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳා x,y,z අගයන් ලබා ගත හැකියි. එහෙත් පලමු හා තෙවන සමීකරණ දෙක සමාන බව පෙනේ. සුලු කළ විට අයිගන් දෛශිකය ලෙස (-1,0,1) ලැබේ.

එලෙසම අනෙක් අයිගන්අගයන් දෙකට අදාල අයිගන්දෛශික දෙකත් ලබා ගත හැකිය.

මෙතෙක් පුන පුනා පැවසුවේ අයිගන්අගයකින් සිදු වන්නේ දෛශිකයේ දිශාව වෙනස් නොවී විශාලත්වය පමණක් වෙනස් වෙනවා කියාය. අයිගන්අගය ඍන අගයක් (උදාහරණයක් ලෙස -3 නම්) නම් කුමක් වේදැයි සිතා බලන්න. අනිවාර්යෙන්ම දෛශිකය 3 ගුනයක් විශාල වේවි. ඒ සමඟම ඍන අගයක් නිසා, දෛශිකයේ දිශාව ප්‍රතිවිරුද්ධ වේ. ඒ කියන්නේ දිශාව වෙනස් වී ඇත. ඇත්තටම මෙය තමයි අයිගන්දෛශිකයක දිශාව වෙනස් වෙනවා නම් වෙනස් විය හැකි එකම ක්‍රමය (දිශාව වෙනස් වීමක් ලෙස සාමාන්‍යයෙන් එය සලකන්නේද නැත).

අයිගන්අගය හැමවිටම තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වීම අත්‍යවශ්‍යද නැත. එය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (complex number) වුවද විය හැකිය. අයිගන්අගයන් සොයා ගත් පරිනාමන න්‍යාසයේ අවයව සියල්ල තාත්වික සංඛ්‍යා නම් හා එහි අයිගන්අගයන් ලෙස සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලැබේ නම්, හැමවිටම මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාත්මක අයිගන්අගයන් යුගල වශයෙන් පැවතිය යුතුය (එනම්, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව හා එහි ප්‍රතිබද්ධය යන යුගලය ලැබිය යුතුය).

සටහන
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ආකාර 3කින් නිරූපණය කළ හැකිය. පොදුවේ එම ආකාර 3 වන්නේ a + bi, r(cosθ + isinθ), reiθ වේ. යම් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිබද්ධය (complex conjugate) ලැබෙන්නේ ඉහත ආකාර 3න් එකකින් දක්වනු ලබන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව a - bi, r(cosθ - isinθ), re-iθ වැනි ආකාරයකින් ලියන විටයි.

අයිගන්දෛශික ගතිගුණ

අයිගන්දෛශික සඳහා පහත සඳහන් ගතිගුණ අදාල වේ. මා මෙම ගතිගුණ මෙහිදී සාධනය කර පෙන්වන්නේ නැත.

1. ඕනෑම A නම් සමචතුරස්‍ර න්‍යාසයක් හා එහි A' නම් පෙරලූ න්‍යාසය (transposed matrix) යන දෙකටම පවතින්නේ එක සමාන අයිගන් අගයන් වේ.

2. ඕනෑම ත්‍රිකෝණික න්‍යාසයක (triangular matrix) හෝ විකර්ණ න්‍යාසයක (diagonal matrix) අයිගන්අගයන් වන්නේ එහි ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ පවතින අවයවවල අගයන් වේ.

3. යම් තදේවභාවි න්‍යාසයක (idempotent matrix) අයිගන්අගය අනිවාර්යෙන්ම 0 හෝ 1 වේ.

4. යම් න්‍යාසයක අයිගන්අගයන්වල එකතුව එම න්‍යාසයේ ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ පවතින අවයවවල එකතුවට සමාන වේ.

5. යම් න්‍යාසයක අයිගන් අගයන්ගේ මුලු ගුනිතය එම න්‍යාසයේ නිශ්චායක අගයට (එනම්, එම න්‍යාසය නිශ්චායකයක් සේ සලකා සුලු කළ විට ලැබෙන අගයට) සමාන වේ.

6. යම් A නම් න්‍යාසයක අයිගන් අගය ලෙස λ පවතී නම්, එම න්‍යාසයේ A-1 නම් ප්‍රතිලෝම න්‍යාසයේ (inverse matrix) අයිගන් අගය 1/λ ලෙස පවතී.

7. යම් A නම් න්‍යාසයක අයිගන් අගයන් ලෙස λ1, λ2, λ3, ..., λn පවතී නම්, Am (m යනු ධන නිඛිලයකි) නම් න්‍යාසයේ අයිගන් අගයන් ලෙස λ1m, λ2m, λ3m, ..., λnm පවතී.

8. යම් ප්‍රලම්භක න්‍යාසයක (orthogonal matrix) අයිගන් අගය ලෙස λ පවතී නම්, එහිම තවත් අයිගන් අගයක් ලෙස 1/λ පවතී.
9. ඕනෑම හර්මිෂන් න්‍යාසයක අයිගන් අගයන් තාත්වික වන අතර, කුටීක හර්මිෂන් න්‍යාසයක අයිගන් අගයන් ශූන්‍ය හෝ අතාත්වික වේ (තාත්වික කොටසක් නැති සංකීර්ණ සංඛ්‍යා).

අයිගන් දෛශික ගැන ගණිතමය පැත්තෙන් ඉහත ආකාරයට ඉගෙන ගත්තත්, එහි භෞතික විද්‍යාත්මක පැතිකඩවල් විවිධ හා බොහෝ වේ. ඒ සියල්ල ගැනම එකවර ඔබට සමහරවිට නොවැටහෙනු ඇත. ඒ ඒ අවස්ථාවලදී අයිගන්දෛශික යොදා ගත හැකි බව විවිධ විද්‍යාඥයන්/ගනිතඥයන් විසින් විශාල අධ්‍යන කිරීමෙන් පසුවයි තීරණය කර තිබෙන්නේ. එනිසා, එකවරම ඔබට අහවල් වර්ගයේ ගැටලුවකට අයිගන් දෛශික යොදා ගත හැකිය යනුවෙන් අනුමාන කළ නොහැකිය. කරන්නට තිබෙන්නේ ඒ ඒ විෂය ක්ෂේත්‍රයන් ඉගෙන ගන්නා විට, අයිගන් දෛශික යොදා ගෙන ඒවා සුලු කළ හැකි බව උගන්වන විට, මේ ඔබ උගත් අයිගන් දෛශික පිලිබඳ දැනුම එවැනි අවස්ථාවලදී භාවිතා කිරීමයි. ඒ හැරත්, අවශ්‍ය නම්, ඔබටද මේ ගැන ගැඹුරු අධ්‍යනයන් සිදු කර අයිගන් දෛශික යොදාගත හැකි අලුත් අවස්ථා/පැතිකඩවල් ලොවට හඳුන්වාදීමටද හැකිය.

සටහන
අයිගන් (eigen) යනු ජර්මානු වචනයක් වන අතර එහි තේරුම "තමා" යන්නයි. මෙම වචනය අගය, දෛශික යන පද දෙක හැරුණහම තවත් ගණිත වචන/සංකල්ප කිහිපයක් සමඟම යෙදෙනවා. උදාහරණයක් ලෙස, eigenfunction (අයිගන්ශ්‍රිත) යනු එවැනි අවස්ථාවකි. අයිගන්ශ්‍රිතයක් යනු, යම් විචල්‍යයක් (හෝ තවත් ශ්‍රිතයක්) මත ගනිත කර්මයක් ක්‍රියාත්මක වීම එම විචල්‍ය (හෝ ශ්‍රිතය) යම් නියත පදයකින් ගුණ කිරීමකට සමාන වන අවස්ථාවයි. පොදුවේ එය Of(x) = λf(x) ලෙස ලියමු (O යන්නෙන් ගනිත කර්මයක්ද, λ මඟින් අයිගන්අගයද නිරූපණය කෙරේ).

උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ දන්නවා යම් ශ්‍රිතයක්/විචල්‍යයක් මත අවකලනය සිදු කළ හැකියිනෙ (d f(x) / dx). සමහර ශ්‍රිත අවකලනය කරන විට එම ශ්‍රිතයම හෝ එම ශ්‍රිතය තවත් නියත පදයකින් ගුණ වී ලැබේ. මීට හොඳම උදාහරණය ex හෝ eλx වැනි ඝාතීය ශ්‍රිතයි. ඒ අනුව ඝාතීය ශ්‍රිතයට සාපේක්ෂව අවකලනය අයිගන්ශ්‍රිතයකි.

 .

Read More »